Materi I
Pengenalan Matlab
I.
Sekilas Tentang Matlab
Pada
saat memasuki lingkungan Matlab, akan muncul tampilan layar monitor seperti
berikut:
Layar di atas sering disebut
sebagai command window atau layar eksekusi. Karena disinilah semua program yang
dibuat dapat dijalankan.
Layar di atas adalah layar edit,
biasanya digunakan untuk program berskala besar.
Sesuai
dengan namanya Matlab(Matrix Laboratory) mempunyai keunggulan dalam hal
memanipulasi matriks. Karena keunggulan inilah maka software ini tidak lagi
menjadi “milik” jurusan matematika akan tetapi matlab banyak dipakai dalam
ilmu-ilmu yang lain.
II.
Dasar-Dasar Operasi Aritmatika
dan Sintak Matlab
1.
|
+
-
*
.*
/
./
\
.\
^
.^
‘
.’
|
Addition
Substraction
Multiplication
Array multiplication
Right division
Array right division
Left division
Array left division
Matrix or scalar raised to a
power
Array raised to a power
Complex conjugate transpose
Real transpose
|
2. Sqrt adalah akar
Syntak S=sqrt(A)
3. Sym adlah membangun angka-angka
simbolis, variabel dan objek.
Syntak S=sym(A)
x
= sym(‘x’)
x
= sym(‘x’,’real’)
x
= sym(‘x’,’unreal’)
S
= sym(A,flag) where flag is one of ‘r’, ‘d’. ‘e’, or ‘f’.
f mewakili bilangan real
r mewakili bilangan rasional
d mewakili bilangan desimal
e mewakili estimate error
4. Syms adalah cara cepat membangun
angka-angka simbolis, variabel dan object.
Syntak syms arg1 arg2 ....
syms
arg1 arg2 ... real
syms
arg1 arg2 ... unreal
5. Findsym adalah mencari variabel simbolik
dari suatu ekspresi.
Syntak r= findsym (S)
r= findsym(S,n)
6. Double adalah Convert ketepatan ganda.
Syntak Double (x)
7. Simplify adalah menyederhanakan persamaan
Aljabar.
Syntak Simplify (x)
8. Subs adalah mensubtitusikan simbolik
ke dalam ekspresi simbolik.
Syntak R= subs (S)
R= subs (S,new)
R= subs (S,old,new)
Contoh : Mencari akar dari angka 1992
»
sqrt(1992) ans
= 44.6318
Jika
angka 1992 dijadikan simbolik maka ditulis
»
a=sqrt(sym(1992)) a
= 2*498^(1/2)
Angka
1992 sudah dalam bentuk simbolik. Selanjutnya untuk mengmbalikan dalam bentuk
ketepatan ganda maka ditulis
»
double(a) ans
= 44.6318
Contoh: Membuat pecahan (2/8) dimana 2
dan 8 dalam bentuk simbol objek
»
sym(2)/sym(8) ans
= ¼
Mengembalikan
dalam bentuk ketepatan ganda maka ditulis
»
double(sym(2)/sym(8)) ans
= 0.2500
Atau
ditulis
»
2/8 ans
= 0.2500
Contoh : Membuat variabel simbol
Misalkan
k = 
dimana 
. Untuk fungsi k diperoleh dengan mendefinisikan terlebih dahulu
sebagai variabel.
dimana . Untuk fungsi k diperoleh dengan mendefinisikan terlebih dahulu
sebagai variabel.
»
pi=sym('sqrt(8)+2') pi
= sqrt(8)+2
»
k=pi^4+pi-pi^2 k
= (2*2^(1/2)+2)^4+2*2^(1/2)+2-(2*2^(1/2)+2)^2
Selanjutnya
nilai k adalah
»
double(k) ans
= 525.0437
Atau
»
simplify(k) ans
= 262+186*2^(1/2)
Contoh : Membuat persamaan f = 
»
f=sym('a*x^3+l*x^2+d*x+i') f
= a*x^3+l*x^2+d*x+i
Atau
»
a=sym('a') a
= a
»
l=sym('l') l
= l
»
d=sym('d') d
= d
»
i=sym('i') i
= i
»
x=sym('x') x
= x
»
f=a*x^3+l*x^2+d*x+i f
= a*x^3+l*x^2+d*x+i
Atau
»
syms a
l d i x
»
f=a*x^3+l*x^2+d*x+i f
= a*x^3+l*x^2+d*x+i
Contoh : Mencari variabel simbolik
dalam suatu ekspresi
»
syms a
m b n
»
z=cos(a*m+b*n) z
= cos(a*m+b*n)
»
findsym(z) ans
= a, b, m, n
»
findsym(z,3) ans
= n, m, b
»
findsym(z,4) ans
= n, m, b, a
Contoh : Mensubstitusi nilai pada
variabel simbolik
Misalkan
f = 
. Substitusikan nilai x = 4 pada f atau ditulis f(4)
. Substitusikan nilai x = 4 pada f atau ditulis f(4)
»
f=sym('3*x^3+x') f
= 3*x^3+x
»
subs(f,4) ans
= 196
»
subs(f,3,5) ans
= 5*x^5+x
»
subs(f,5) ans
= 380
Contoh : Mensubtitusikan nilai pada
beberapa variabel simbolik
Misalkan f = 8y-xy. Substitusikan nilai x = 2 dan y =
4 pada f
»
syms x y
»
f=8*y-x*y f
= 8*y-x*y
»
f1=subs(f,x,2) f1
= 6*y
»
f1=subs(f1,y,4) f1 = 24
Materi
II
Turunan
Diff adalah turunan
Syntak diff (S,’v’)
diff (S.n)
diff (S,’v’,n)
Contoh : Tentukan Turunan pertama dan
kedua dari fungsi berikut :
a. tan (6x) b.
sec(2x)cos (x)
a.
» syms x
»
f=tan(6*x) f
= tan(6*x)
»
diff(f) ans
= 6+6*tan(6*x)^2
Atau
»
diff(f,'x') ans
= 6+6*tan(6*x)^2
Turunan
kedua
»
diff(f,2) ans
= 12*tan(6*x)*(6+6*tan(6*x)^2)
Atau
»
diff(f,'x',2) ans
= 12*tan(6*x)*(6+6*tan(6*x)^2)
Atau
»
diff(diff(f)) ans
= 12*tan(6*x)*(6+6*tan(6*x)^2)
b.
»
syms x
»
f=sec(2*x)*cos(x)
f = sec(2*x)*cos(x)
»
diff(f)
ans =
2*sec(2*x)*tan(2*x)*cos(x)-sec(2*x)*sin(x)
Turunan
kedua
»
diff(f,2)
ans =
4*sec(2*x)*tan(2*x)^2*cos(x)+2*sec(2*x)*(2+2*tan(2*x)^2)*cos(x)-
4*sec(2*x)*tan(2*x)*sin(x)-sec(2*x)*cos(x)
Turunan Parsial
Diff adalah turunan
Syntak diff
(S,’v’)
diff
(S,n)
diff
(S,’v’,n)
Contoh : Tentukan turunan parsial dari
fungsi g = cos (a*b)
a.
Turunan
parsial g (x,b) terhadap b dan turunan parsial terhadap a
»
syms a b
»
g=cos(a*b) g = cos(a*b)
»
diff(g,b) ans
= -sin(a*b)*a
»
diff(g,a) ans =
-sin(a*b)*b
b.
Turunan
parsial g (x,b) kedua terhadap b dan turunan parsial kedua terhadap a
» g=cos(a*b) g = cos(a*b)
» diff(g,b,2) ans
= -cos(a*b)*a^2
» diff(g,a,2) ans
=
-cos(a*b)*b^2
Materi III
Limit
Contoh : Tentukan 
Definisikan
fungsi y
»
syms x
»
y=4*x+5 y =
4*x+5
Limit
dari y
»
limit(y,x,3) ans = 17
Atau
biasa dilakukan tanpa mendefinisikan fungsinya
»
limit((4*x+5),x,3) ans = 17
Contoh : Tentukan 
Untuk
mengetahui limit dari fungsi diatas maka perlu diketahui limit kanan dan limit
kiri. Apabila limit kiri tidak sama dengan limit kanan maka disimpulkan bahwa fungsi
tersebut tidak mempunyai limit.
Definisikan
fungsi y = 
»
syms x
»
y=(2*x^2+3*x)/(sqrt(x^2-x)) y =
(2*x^2+3*x)/(x^2-x)^(1/2)
Limit
kiri
»
limit(y,x,2,'left') ans
=
7*2^(1/2)
Limit
kanan
»
limit(y,x,2,'right') ans = 7*2^(1/2)
Karena
limit kiri sama dengan limit kanan maka disimpulkan y =
mempunyai limit di x = 2
mempunyai limit di x = 2
»
limit(y,x,2) ans =
7*2^(1/2)
Contoh
: Tentukan turunan dari y = tan (x). Turunan fungsi didefinisikan sebagai :
f
’ (x) = 
Mendefinisikan
y
»
syms x h
»
y=tan(x) y
=
tan(x)
Turunan
y
»
limit((subs(y,x+h)-y)/h,h,0) ans
=
1+tan(x)^2
Atau
biasa dilakukan langsung tanpa pendefinisian terlebih dahulu
»
syms h n x
»
limit((tan(x+h)-tan(x))/h,h,0) ans
=
1+tan(x)^2
Materi
IV
Integral
Contoh
: Tentukan 
Definisikan
fungsi y
»
syms x
»
y=(cos(x)^2)*sin(x) y
=
cos(x)^2*sin(x)
Integral
dari y
» int(y,x) ans
=
-1/3*cos(x)^3
Contoh
: Tentukan 
Definisikan
fungsi y
»
syms x
»
y=x^2-4*x+6 y
=
x^2-4*x+6
Integral
dari y dengan batas bawah 2 dan batas atas 5
»
int(y,x,2,5) ans
=
15
Contoh
: Tentukan 
dx dy
dx dy
Definisikan
fungsi z
»
syms x y
»
z=6*x+12*x^2 z
=
6*x+12*x^2
Integral
rangkap dari z terhadap x dan terhadap y
»
int(int(z,x,1,0),y,0,5) ans
=
-35
Materi
V
Plot
Contoh
gambar fungsi y = 5*x^2-3
Definisikan
fungsi y
»
syms x
»
y=5*x^2-3 y
=
5*x^2-3
Gambar grafik dari y
»
ezplot(y)
Gambar grafik dari y
» ezplot(y)
» grid
» ezplot(y,[-5,3])
» grid
Contoh : Gambarkan grafik f = x^3 – 2y
Definisikan fungsi f(x,y)
» syms x y
» f=x^3-2*y f
=
x^3-2*y
» ezmesh(f)
Gambar grafik f(x,y)
Untuk mengubah warna grafik
» ezmesh(f)
» colormap([1 0 0])
Menetukan domain sendiri
» ezsurf(f)
Contoh : Gambarkan diagram ketinggian grafik f = x^3-2y
» syms x y
» f=x^3-2*y f
=
x^3-2*y
» ezcontour(f)
Lable, title, legend command
» x=[1:5:20];
» y=tan(x)
y =
1.5574 -0.2910 -225.9508 0.3006
» z=sec(x)
z =
1.8508 1.0415
225.9531 -1.0442
» plot(x,y,x,z,'--')
» xlabel('x')
» ylabel('y')
» legend('tan(x)','sec(x)')
» grid on
» title('nilai y dan z')
Data markes dan data type
» x=[0:0.5:10];
» y1=cos(x);
» y2=cos(x-pi/4);
» y3=cos(x-pi/2);
» plot(x,y1,'ro',x,y2,'k',x,y3,'c--')
Hold Command
» x=[2:5:25];
» y1=x^2;
» plot(x,y1)
» hold on
» y2=x-2;
» plot(x,y2)
Bar plots
» syms x y
» x=[0:10:50];
» y=sqrt(16)-2;
» bar(x,y)
Polar plots
» syms x
» x=[0:pi/30:120];
» polar(x,sec(2*x),'--y')
Fill plots
» syms x
» x=[0:0.01:2];
» y=sin(x).*cos(x);
» fill(x,y,'b')
Pie command
» pie(rand(1.0))
The stairs command
» syms a
» a=[0:0.2:20];
» y=cos(5.*a);
» stairs(a,y)
Subplot
» syms x
» x=[0:5:50];
» y1=x.^3-6.*x;
» y2=x.*4-2.*x.^2;
» subplot(4,4,1)
» plot(x,y1)
» subplot(4,4,16)
» plot(x,y2)
Materi VI
Maksimum
dan Minimum
Contoh
: Tentukan maksimum / minimum fungsi f
= 
Definisikan
fungsi f(x)
» syms x
»
f=(x^2+2*x-4)/(2*x^2-4*x+4)
f =
(x^2+2*x-4)/(2*x^2-4*x+4)
Turunan
pertama dari f
» f1=diff(f)
f1 =
(2*x+2)/(2*x^2-4*x+4)-(x^2+2*x-4)/(2*x^2-4*x+4)^2*(4*x-4)
Bentuk
sederhana dari f1
» f1=simplify(f1)
f1 =
-2*(x^2+1-3*x)/(x^2-2*x+2)^2
Titik
kritis dari f
» kritis=solve(f1)
kritis =
[
3/2+1/2*5^(1/2)]
[ 3/2-1/2*5^(1/2)]
Titik kritis pertama
»
kritis(1)
ans =
3/2+1/2*5^(1/2)
Titik kritis kedua
»
kritis(2)
ans =
3/2-1/2*5^(1/2)
Nilai ketepatan tunggal dari titik kritis
»
double(kritis)
ans =
2.6180
0.3820
Gambar
grafik dari f
»
ezplot(f)
» grid
» hold on
Menentukan
letak titik maksimum lokal dan minimum lokal
»
plot(double(kritis),double(subs(f,kritis)),'ro')
»
text(-1,-1,'minimum lokal')
»
text(2,1,'maksimum lokal')
Menentukan
titik belok dengan uji turunan kedua
Turunan
kedua dari f
»
f2=diff(f1)
f2 =
-2*(2*x-3)/(x^2-2*x+2)^2+4*(x^2+1-3*x)/(x^2-2*x+2)^3*(2*x-2)
Bentuk sederhana dari f2
»
f2=simplify(f2)
f2 =
2*(2*x^3-9*x^2+6*x+2)/(x^2-2*x+2)^3
Titik belok terjadi pada saat turunan kedua
fungsi f sama dengan nol
» ttkbelok=solve(f2)
ttkbelok
=
[
1/2*(5+10*i)^(1/3)+5/2/(5+10*i)^(1/3)+3/2]
[
-1/4*(5+10*i)^(1/3)-5/4/(5+10*i)^(1/3)+3/2+1/2*i*3^(1/2)*(1/2*(5+10*i)^(1/3)-5/2/(5+10*i)^(1/3))]
[
-1/4*(5+10*i)^(1/3)-5/4/(5+10*i)^(1/3)+3/2-1/2*i*3^(1/2)*(1/2*(5+10*i)^(1/3)-5/2/(5+10*i)^(1/3))]
Nilai
ketepatan ganda dari titik belok adalah
»
double(ttkbelok)
ans =
3.5855
-0.2413 - 0.0000i
1.1558 - 0.0000i
Dari tiga
titik belok yang memenuhi hanya ada satu yang bernilai real dan yang lainnya
imajiner maka titik belok terjadi pada
»
ttkbelok=double(ttkbelok(1))
ttkbelok =
3.5855
Gambar
grafik f{ Nilai maksimum / minimum dan titik beloknya }
» hold on
»
plot(double(ttkbelok),double(subs(f,ttkbelok)),'o')
» text(0,0.7,'titik
belok')
Tidak ada komentar:
Posting Komentar